ブラウザー用 Twilio クライアントはファイアウォール内でも動作しますか ?

はい、動作します。

Twilio クライアントは他の Web アプリケーションと同じようにウェブ ブラウザー内で実行されるため、

ほとんどの場合使用に当たり特に必要となるネットワーク設定要件はありません。

[Twilio クライアントの最小システム要件][21]を参照してください。